数列极限&极限基础

集合&元素

集合：（一般用大写字母表示：$A$,$B$,$C$）一些确定的对象的事物由元素组成。例如：$\lbrace 1,2,3 \rbrace$，直线上所有的点（$y=x,y=x^2,y=\sqrt{x}$）。

元素：一般用小写字母表示 $a,b,c$。

元素有限个：有限集；元素无限个：无限集。

元素和集合有两种关系：元素被包含：$a\in A$；元素不被包含 $a\notin A$。

子集：$A\subset B$ 或 $A\supset B$（集合之间的关系）

集合和元素关系

$a=1$

$A=\lbrace 1,2,3 \rbrace$

$B=\lbrace \lbrace 1,2,3 \rbrace,\lbrace 1,4 \rbrace \rbrace$

$a\in A$

$A\in B$（注意符号：对于 B 来说 A 属于元素）

$A\subset B,B\subset A\Rightarrow A=B$

空集：$\phi$

运算

$\cup:A\cup B,A$ 和 $B$ 集合所有包含部分。

$\cap:A\cap B,A$ 和 $B$ 集合所有重叠部分。

$-:A- B,A$ 集合中所有和 $B$ 不重叠部分。

$\Omega:$ 全集。

$\overline{A}:\overline{A}=\Omega-A$，集合中不与 $A$ 重叠的部分（补集）。

多重运算：

$A\cup B=B\cup A$

$A\cap B=B\cap A$

$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$

$A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup B)$

$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap B)$

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$

直积（笛卡尔乘积）

直积（笛卡尔乘积）：两个集合相乘。

$A\times B=\lbrace (a,b)|a\in A,b\in B \rbrace$ 有序对 $a,b$。

$A=\lbrace 1,2 \rbrace,B=\lbrace 3,4,5 \rbrace$

$A\times B=\lbrace \lbrace 1,3 \rbrace,\lbrace 1,4 \rbrace,\lbrace 1,5 \rbrace,\lbrace 2,3 \rbrace,\lbrace 2,4 \rbrace,\lbrace 2,5 \rbrace \rbrace$

$B\times A=\lbrace \lbrace 3,1 \rbrace,\lbrace 3,2 \rbrace,\lbrace 4,1 \rbrace,\lbrace 4,2 \rbrace,\lbrace 5,1 \rbrace,\lbrace 5,2 \rbrace \rbrace$

邻域

$U(a,\delta)=\lbrace x|a-\delta < x < a+\delta \rbrace$

$a$：中点，$\delta$：半径。

去心邻域（不要中点的邻域）：

$U(\hat{a},\delta)=\lbrace 0 < |x-a| < \delta \rbrace$

$\mathring{U}(a,\delta)=\lbrace 0 < |x-a| < \delta \rbrace$

（符号不统一，两种表示方法同一个意思）。

区间

有限区间：

• 开区间：$(a,b)$

• 闭区间：$[a,b]$

• 左开右闭：$(a,b]$

• 左闭右开：$[a,b)$

无限区间：

• 开区间：$(-\infty,\infty)$

• 左开右闭：$(-\infty,b]$

• 左闭右开：$[a,\infty)$

无穷的运算

$(+\infty)+(+\infty)=+\infty$

$(-\infty)+(-\infty)=-\infty$

$(+\infty)-(+\infty)=$不确定

$(-\infty)-(-\infty)=$不确定

$(+\infty)+(-\infty)=$不确定

$(+\infty)\times(+\infty)=+\infty$

$(-\infty)\times(+\infty)=+\infty$

$(+\infty)\times(-\infty)=-\infty$

$\frac{+\infty}{+\infty}=$不确定

$\frac{+\infty}{-\infty}=$不确定

$\frac{-\infty}{-\infty}=$不确定

推导：$(+\infty)-(+\infty)=$不确定

设 $x=+\infty$

$(+\infty)-(+\infty)=x-x=0$（$0$）

设 $x=+\infty$

$\therefore$ $x+5=+\infty$

$(+\infty)-(+\infty)=(x+5)-x=5$（正数）

设 $x=+\infty$

$\therefore$ $x+5=+\infty$

$(+\infty)-(+\infty)=x-(x+5)=-5$（负数）

设 $x=+\infty$

$\therefore$ $x^2=+\infty$

$(+\infty)-(+\infty)=x^2-x=x\times(x-1)$

$\because x-1=+\infty$

$\therefore (+\infty)-(+\infty)=(+\infty)\times(+\infty)=+\infty$（正无穷）

设 $x=+\infty$

$\therefore$ $x^2=+\infty$

$(+\infty)-(+\infty)=x-x^2=x\times(1-x)$

$\because 1-x=1-\infty=-\infty$

$\therefore (+\infty)-(+\infty)=(+\infty)\times(-\infty)=-\infty$（负无穷）

$\therefore$ $(+\infty)-(+\infty)=$不确定

函数

函数概念：设 $A,B$ 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $f (x)$和它对应，那么就称 $f$ ： $A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数。 记作：$y=f(x)$，$x\in A$。

函数相同：定义域相同，定义域对应关系相同。

$\ln(x^2)\not=2\ln(x)$

$\because \ln(x^2)(x\not=0)$

$\because 2\ln(x)(x>0)$

$\therefore \ln(x^2)\not=2\ln(x)$

例题：$f(x+1)=x^2-x$，求 $f(x)$。

设 $t=x+1$

$\therefore f(t)=(t-1)^2-(t-1)$

$\therefore f(t)=t^2-2t+1-t+1$

$\therefore f(t)=t^2-3t+2$

$\therefore f(x)=x^2-3x+2$

函数表示法：

• 解析法（公式法）

函数：$y=x$

分段函数：$y=\lfloor x\rfloor$（不超过 $x$ 的最大值 $\lfloor 1.5\rfloor=1,\lfloor -0.5\rfloor=-1,\lfloor -1.1\rfloor=-2$）

• 列表法

写出几个 $x$ 和其对应的 $y$。（要保证有函数“特色”，根据数据能表示出函数）。

• 图像法

平面直角坐标系。

特殊函数

• 周期函数

周期函数：$f(x+T)=f(x)$，最小正数 $T$ 是它的周期。

$\because f(x)$，的周期是 $T$。

$\therefore f(ax)$，的周期是 $\frac{T}{a}$。

• 单调递增函数

$x_1 < x_2,f(x_1) < f(x_2)$

• 单调递减函数

$x_1 < x_2,f(x_1) > f(x_2)$

• 奇函数（定义域关于原点对称)

$f(-x)=-f(x)$

• 偶函数（定义域关于原点对称)

$f(-x)=f(x)$

• 有界函数

$|f(x)|\leqslant M\Rightarrow -M\leqslant f(x)\leqslant M$（$-M,M$ 即界限）

• 反函数

函数：$y=2x$

它的反函数 $x=\frac{y}{2}$

由于书写习惯左边用 $y$ 写，$y=\frac{x}{2}$

（也可以看成根据 $y=x$ 函数对称）

变化：

原函数定义域 $\rightarrow$ 反函数值域

原函数值域 $\rightarrow$ 反函数定义域

根据特征不难发现，有些函数没有反函数，如果有反函数，函数必须满足原函数 $x,y$ 唯一对应。

数列极限

数列：$x_1,x_2,x_3,x_4,…$

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},…$$无穷数列$

第 $n$ 项（通项公式）：$\frac{1}{n}$

单调递增：$x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant …$

单调递减：$x_1\geqslant x_2\geqslant x_3\geqslant …$

• 有界数列 $|x_n|\leqslant M$

数列：$\frac{n}{n+1}\Rightarrow \frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},…\rightarrow 1$

我们先定一段小的区间 $\varepsilon=0.1$，代表距离 $1$ 的距离所包含的区间（值 $\geqslant0.9$），设 $N=9$，当 $n$（第 $n$ 项）$> N$ 时 $|x_n-a|< \varepsilon$ 时，$\lbrace x_n \rbrace$ 以 $a$ 为极限。

极限定义：$|x_n-a|< \varepsilon$ 落在以 $a$ 为中心，以 $\varepsilon$ 为半径的邻域中。

定义证明极限存在（套模板答题）

• 例一：$\lbrace \frac{n}{n+1} \rbrace$ 的极限是 $1$

我们只要找到 $N$ 的存在即可。

任给 $\varepsilon > 0$

$\because |x_n-a|=|\frac{n}{n+1}-1|=\frac{1}{n+1} < \varepsilon$（定义）

$\therefore \frac{1}{\varepsilon} < n+1$

$\therefore n>\frac{1}{\varepsilon }-1$

$\therefore N=\lfloor |\frac{1}{\varepsilon}-1|\rfloor+1$

注意：这里 $N$ 最后的 $+1$ 只是保证 $n > N$ 后，保证后面所有的项都在邻域中。（$N=\lfloor |\frac{1}{\varepsilon}-1|\rfloor+100$ 这么写也不是错的）

• 例二：$|q| < 1$ 证明：

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}q^n=0$$

当 $q=0$ 时，$0^n=0$

当 $q\not=0$ 时，$\forall \varepsilon > 0(\varepsilon < 1)$

$\because |q_n-0| < \varepsilon (a=0)$

$\therefore |q_n| < \varepsilon$

$\therefore n\log|q| < \log{\varepsilon}$

$\because |q| < 1$

$\therefore \log{|q|}<0$

$\therefore n > \frac{log{\varepsilon}}{\log{|q|}}$

$\therefore N=\lfloor \frac{log{\varepsilon}}{\log{|q|}}\rfloor +1$

$n > N$ 时，$|q^n-0| < \varepsilon$

• 例三：$a > 0,$ 证明：

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}{\frac{1}{n^a}}=0$$

$\forall \varepsilon > 0,|\frac{1}{n^a-0}| < \varepsilon$

$\therefore \frac{1}{n^a} > \varepsilon$

$\therefore n^a > \frac{1}{\varepsilon}$

$\therefore (n^a)^{\frac{1}{a}} > \frac{1}{\varepsilon}^{\frac{1}{a}}$

$\therefore n > \frac{1}{\varepsilon}^{\frac{1}{a}}$

$N=\lfloor (\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{a}}\rfloor+1$

$n > N$ 时 $|\frac{1}{n^a}-0| < \varepsilon$

性质

性质 1

$\lbrace x_n \rbrace$ 收敛，极限唯一。

反证法：

假设极限不唯一，有两个极限分别为 $a$，$b$。

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n}=a$$ $$\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n}=b$$

$a\not=b$，设 $a < b$，取 $\varepsilon =\frac{b-a}{2}$

$$\because \lim_{n\rightarrow+\infty}{x_n}=a,\exists N_1,n > N_1,|x_n-a| < \frac{b-a}{2}$$ $$\therefore -\frac{b-a}{2} < x_n-a < \frac{b-a}{2}$$

第 $n$ 项范围 $1$：

$$\therefore \frac{3a-b}{2} < x_n < \frac{a+b}{2}$$ $$\because \lim_{n\rightarrow+\infty}{x_n}=b,\exists N_2,n > N_2,|x_n-b| < \frac{b-a}{2}$$ $$\therefore -\frac{b-a}{2} < x_n-b < \frac{b-a}{2}$$

第 $n$ 项范围 $2$：

$$\therefore \frac{a+b}{2} < x_n < \frac{3b-a}{2}$$

第 $n$ 项的范围显然矛盾，所以 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛，极限唯一。

性质 2

$\lbrace x_n \rbrace$ 收敛，$\lbrace x_n \rbrace$ 有界。

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n}=a$$

取 $\varepsilon=1,\exists N,n > N$

$\therefore |x_n-a| < 1$

$\therefore |x_n|=|x_n-a+a|\leqslant|x_n-a|+|a|<1+|a|$

$$x_{N+1},x_{N+2},… <|a|+1$$

设 $M=\max\lbrace |x_1|,|x_2|,|x_3|,…,|x_N|,|a|+1 \rbrace$

$M$ 即为“跳不出”的边界。

有界是收敛的必要条件，不是充分条件，例如：$\lbrace -1,1,-1,1,… \rbrace$

若数列单调有界，则有极限。

性质 3

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n}=a,a > 0,\exists N,n > N,x_n > 0$$

设 $a>0$，取 $\varepsilon =\frac{a}{2},\exists N,n > N,|x_n-a| < \frac{a}{2}$

$\therefore -\frac{a}{2} < x_n-a < \frac{a}{2}$

$\therefore 0 < \frac{a}{2} < x_n < \frac{3}{2}a$

性质 4

$$\lbrace x_{n} \rbrace$$

收敛于 $a$，

任何子数列

$$\lbrace x_{k_{n}} \rbrace$$

收敛于 $a$。

原数列：$x_1,x_2,x_3,…$

子数列：$x_1,x_5,x_7,…$（在原数列中随意取，但要保证数列中的数在原数列中的先后顺序）

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n}=a,\forall \varepsilon > 0,\exists N,n > N,|x_n-a|<\varepsilon$$ $$k_{n} \geqslant n > N,|x_{k_{n}}-a| < \varepsilon$$ $$\lbrace x_{k_{n}} \rbrace$$

收敛于 $a$

推导

• 推导 1：找到一个子数列不收敛，则原数列不收敛。

• 推导 2：找到两个子数列，虽然收敛，但极限不同，则原序列发散。

原数列：$\lbrace 1,-1,1,-1,… \rbrace$

子序列 $1$：$1,1,1,1,…$（极限：$1$）

子序列 $2$：$-1,-1,-1,…$（极限： $-1$）

子序列极限不同，说明原序列发散。

• 推导 3：原数列收敛 $\Leftrightarrow$ 奇数项，偶数项构成子序列收敛且极限相同。

• 总结：

如果找到一个收敛子序列，原序列未必收敛。

如果找到无穷个收敛子序列，原序列未必收敛（找的方式不同）。

如果找到所有收敛子序列，原序列一定收敛。