函数极限&极限运算&极限存在准则

函数极限

$\frac{1}{x}$ 函数在 $(x>0)$ 的部分：$x \rightarrow +\infty,f(x)\rightarrow 0$

公式 1

$x\rightarrow +\infty,f(x)\rightarrow a$

若 $\exists a,\forall \varepsilon > 0,\exists X,x > X$ 时，$|f(x)-a| < \varepsilon$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}{f(x)}=a$$

例：证明

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}{(\frac{1}{2})^{x}}=0$$

$\exists \varepsilon > 0(\varepsilon < 1)$，要使 $|f(x)-0| < \varepsilon $

$\because (\frac{1}{2})^x<\varepsilon $

$\therefore \frac{1}{\varepsilon} < 2^x$

$\therefore x\lg{2} > \lg{\frac{1}{\varepsilon}}$

$\therefore x > \frac{\lg{\frac{1}{\varepsilon}}}{\lg{2}}$

取 $X=\frac{\lg{\frac{1}{\varepsilon}}}{\lg{2}}$

当 $x > X$ 时，有 $|f(x)-a| < \varepsilon$

注意：原来是数列极限，$x_n$ 代表第 $n$ 项，要 $\lfloor\rfloor$（下取整）但这里的 $x$ 是实数，所以不用取整。

公式 2

$x\rightarrow -\infty,f(x)\rightarrow a$

$\forall \varepsilon > 0,\exists X(X > 0),x < -X$ 时，$|f(x)-a| < \varepsilon$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}{f(x)}=a$$

公式 3（合并前两个公式）

$x\rightarrow \infty,f(x)\rightarrow a$

$\forall \varepsilon > 0,\exists X(X > 0),|x| > X$ 时，$|f(x)-a| < \varepsilon$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}{f(x)}=a$$

公式 4

$x\rightarrow x_0$（趋于有限数）

$f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有定义，在 $x_0$ 处可以没有定义。

$\exists a,\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,0 < |x-x_0| < \delta,|f(x)-a| < \varepsilon$

（$x$ 取不到 $x_0$，趋近于 $x_0$）

$|x-x_0| > 0$，$x_0$ 处是否有定义，取值。

$\varepsilon$：$a$ 的邻域半径。

$\delta$；$x_0$ 的淋浴半径。

使函数值都落在 $a$ 的邻域中。

例子：

$$\lim_{x\rightarrow 1}{(2x+1)}=3,\lim_{x\rightarrow+\infty}{\sin{x}\rightarrow \sin{x_0}}$$

公式 5

• 左极限（$x_0 > x$）

$$x\rightarrow {x_{0}}^{-}$$

（从左边逼近），$0 < x_0-x < \delta$

$$\lim_{x\rightarrow {x_{0}}^{-}}{f(x)}=a$$

（注意 ${x_{0}}^{-}$ 的负号，代表从左逼近极限，是左极限）

• 右极限 （$x_0 < x$）

$$x\rightarrow {x_{0}}^{+}$$

（从右边逼近），$0 < x-x_0 < \delta$

$$\lim_{x\rightarrow {x_{0}}^{+}}{f(x)}=a$$

（注意 ${x_{0}}^{+}$ 的正号，代表从右逼近极限，是右极限）

$$\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=a\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow{x_0}^{-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow{x_0}^{+}}{f(x)}$$

• 左右极限不存在，$x\rightarrow x_0$ 不存在。

• 左右极限都存在但是不相等，极限不存在。

例：

$$f(x)= \left\lbrace \begin{matrix} x(x \leqslant 1)\\ 2x+1(x>1) \end{matrix}\right. \lim_{x\rightarrow 1}{f(x)}$$

左极限：

$$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{f(x)}=1$$

右极限：

$$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}=3$$

$1\not=3$ 所以 $x=1$ 不存在极限。

性质

性质 $1$：

$$\lim{f(x)}$$

存在，是唯一的。

性质 $2$：（局部有界性）

$$\lim{f(x)}$$

存在，存在 $x_0$ 去心邻域，$f(x)$ 有界。

性质 $3$：（局部保号性）

$$\lim{f(x)}=a,a > 0$$

一定存在去心邻域，$f(x) > 0$

性质 $4$：

$$\lim_{x\rightarrow}{f(x)} = a\Leftrightarrow x\rightarrow x_0$$

任意 $\lbrace x_n\rbrace$，

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n\rightarrow x_0}$$ $$\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n}=a$$

函数：连续

数列：分散（离散）

• 若找到一个 $\lbrace x_n \rbrace$，数列极限不存在，极限不存在。

• 两个 $\lbrace x_n \rbrace$，数列极限不相等，原函数极限不存在。

例：

证明

$$\lim_{x\rightarrow 0}{\sin{\frac{1}{x}}}$$

不存在。

$$x_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}} \rightarrow 0(x\rightarrow 0,x_n\rightarrow 0)$$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}{\sin{\frac{\pi}{2}}}=1$$ $$x_n=\frac{1}{2n\pi} \rightarrow 0(x\rightarrow 0,x_n\rightarrow 0)$$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}{\sin{2n\pi}}=1$$ $$\because 1\not=0$$ $$\therefore\lim_{x\rightarrow 0}{\sin{\frac{1}{x}}}$$

不存在。

无穷

无穷小：趋近于 $0$。

$$f(x)\rightarrow 0,\lim_{x\rightarrow0}{x^2}=0$$

注意变化过程。

无穷小 $+$ 无穷小 $\rightarrow 0$

无穷小 $-$ 无穷小 $\rightarrow 0$

无穷小 $\times$ 无穷小 $\rightarrow 0$

无穷小 $/$ 无穷小 $\rightarrow ?$

$$?= \left\lbrace \begin{matrix} \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{x}}=1\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{2x}}=\frac{1}{2}\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x^2}{x}}=0\\\\ \vdots \end{matrix} \right.$$

定理 $1$：

无穷小 $x$，有界（确定的数）是无穷小 $=0$。

例 $1$：

$$\lim_{x\rightarrow 0}{x\sin{\frac{1}{x}}}=0$$ $$|\sin{\frac{1}{x}}|\leqslant 1$$

有界

$$\therefore \lim_{x\rightarrow 0}{x\sin{\frac{1}{x}}}=0$$

例 $2$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{1}{x}}\sin{x}=0$$ $$\because |\sin{x}|\leqslant 1$$

有界

$$\because \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{1}{x}}=0$$ $$\therefore \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{\sin{x}}{x}}=0$$

例 $3$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{ard\tan{x}}{x}}=0$$ $$\because ard\tan{x}\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$ $$\therefore \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{ard\tan{x}}{x}}=0$$

定理 $2$：

$$\lim{f(x)}=a\Leftrightarrow f(x)=a+\alpha(x),\lim{\alpha(x)}=0$$ $$\lim{f(x)}=\lim{a}+\lim{\alpha(x)}=a+0=a$$

无穷大：$+\infty,-\infty$。

无穷大 $+$ 有界 $\rightarrow$ 无穷大

无穷大 $\times$ 无穷大 $\rightarrow$ 无穷大

（关于：$(+\infty)+(+\infty)$ 一类的运算）

定理 $3$：

$f(x)$ 无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 无穷小，同一变化过程。

$f(x)$ 无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 无穷大。

极限运算

$$\lim{f(x)}=a,\lim{g(x)}=b$$

极限存在

$$\lim{(f(x)+g(x))}=\lim{f(x)}+\lim{g(x)}=a+b$$ $$\lim{(f(x)-g(x))}=\lim{f(x)}-\lim{g(x)}=a-b$$ $$\lim{(f(x)\times g(x))}=\lim{f(x)}\times \lim{g(x)}=a\times b$$ $$\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim{f(x)}}{\lim{g(x)}}=\frac{a}{b}$$ $$\lim{nf(x)}=n\lim{f(x)}=n\times a$$ $$\lim{(f(x)^n)}=(\lim{f(x)})^n=a^n$$

• 常数外提

• 于 $x$ 无关的变量外提

不能拆无限个的极限运算

$$\lim{(f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+…)}$$

• 有限个

• 每个函数的极限存在

例 $1$：

$$\lim_{x\rightarrow 1}{(2x^2-x+3)}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 1}{2x^2}-\lim_{x\rightarrow 1}{x}+3$$ $$=2-1+3=4$$

例 $2$：

$$\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{3x-1}{x^2+6}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

例 $3$：

$$\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x+2}{x-2}}=\infty$$

• 多项式，只接代入

• 有理分式，多项式 $/$ 多项式（$\not=0$），只接代入

例 $4$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{2x^2+3x+1}{5x^2+4x+3}}$$

分子分母同时除去 $x^2$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{5+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}$$ $$\because x\rightarrow \infty$$ $$\therefore \frac{3}{x}\rightarrow 0$$ $$\therefore \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{5+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{2}{5}$$

• 分子分母同次，最高次的系数比即为答案。

例 $5$：

$$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{2x^5+x^3+3}{10x^5+x^2-2}}=-\frac{3}{2}$$

注意 $x$ 的极限是什么

例 $6$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{5x^2+4x-1}{3x^3-2}}$$

两边同时除 $x^3$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{3-\frac{2}{x^3}}}=\frac{0}{3}=0$$

• 分母次数高，结果为 $0$

例 $7$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{3x^3+4x-1}{3x^2-2}}$$

两边同时除 $x^3$：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{3+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3}}}=\frac{3}{0}=\infty$$

• 分子次数高，结果为 $\infty$

例 $8$：

$$\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{x-1}{x^2-1}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{1}{x+1}}=\frac{1}{2}$$

例 $9$：

$$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}}=\frac{1}{2}$$

例 $10$：

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+…+\frac{n}{n^2})}$$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2}}$$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\frac{1}{2}(n+1)}{n}}$$ $$=\frac{1}{2}$$

（参见例 $4$ 得到的推论）

例 $11$：

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}{(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})}$$ $$=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{x^2+x+1-(x^2-x+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}}$$

$\sqrt{x^2}=x$，指数时 $1$。

（参见例 $4$ 得到的推论）

$$=\frac{2}{1+1}=1$$

例 $12$：

$$\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x^2-2x+k}{x-3}}=4$$

因为 $\frac{0}{0}$ 会出现结果为常数的情况

$$\lim_{x\rightarrow 3}{x^2-2x+k}=0$$ $$=9-6+k=0$$ $$k=-3$$

常见求极限的情况

• 多项式

• $\frac{\infty}{\infty}$

• 无限项之和

• 分子有理化

• 分子分母消去

极限存在准则

夹逼定理

$f(x),g(x),h(x)$ 满足 $U(\hat{x_0},r)$

$$g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$$ $$\lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}{h(x)}=a\Rightarrow\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=a$$

例：

$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2^n}{n!}}$$ $$0 < \frac{2^n}{n!} =\frac{2\times 2\times 2\times …\times 2 }{1\times 2\times 3\times …\times n} < \frac{2\times 2}{1\times n}=\frac{4}{n}$$

$n\rightarrow \infty$ 时，$\frac{4}{n}\rightarrow 0$

$$\therefore \frac{2^n}{n!}\rightarrow 0$$ $$\therefore \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{2^n}{n!}}\rightarrow 0$$

定理 2

单调有界数列必有权限。

$$|x_n|\leqslant M,-M\leqslant x_n\leqslant M$$

单调增有上界必有极限，单调减有下界必有极限。

例：

$$a > 0,x_1=\sqrt{a},x_n=\sqrt{a+x_{n-1}}$$ $$\sqrt{a} < \sqrt{a+\sqrt{a}}$$

设 $x_{n-1} < x_n$

$$a+x_{n-1} < a+x_n$$ $$\sqrt{a+x_{n-1}} < \sqrt{a+x_n}$$ $$x_n < x_{n+1}$$

$\therefore$ 单调增

$$x_1=\sqrt{a} < \sqrt{a+\sqrt{a}}$$

设 $x_{n-1} < x_n$

$$x_1=\sqrt{a} < \sqrt{a}+1,x_n< \sqrt{a}+1$$ $$x_{n+1}=\sqrt{a+x_n} < \sqrt{a+\sqrt{a}+1}$$ $$= \sqrt{(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}+1} < \sqrt{(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}+1$$

$\therefore$ 有极限

设

$$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=b$$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}{x_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}{\sqrt{a+x_{n-1}}}$$ $$b=\sqrt{a+b}$$ $$b^2-b-a=0$$ $$b=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}$$ $$b=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}(b > 0)$$