函数极限
1x 函数在 (x>0) 的部分:x→+∞,f(x)→0
公式 1
x→+∞,f(x)→a
若 ∃a,∀ε>0,∃X,x>X 时,|f(x)−a|<ε
limx→+∞f(x)=a例:证明
limx→+∞(12)x=0∃ε>0(ε<1),要使 |f(x)−0|<ε
∵(12)x<ε
∴1ε<2x
∴xlg2>lg1ε
∴x>lg1εlg2
取 X=lg1εlg2
当 x>X 时,有 |f(x)−a|<ε
注意:原来是数列极限,xn 代表第 n 项,要 ⌊⌋(下取整)但这里的 x 是实数,所以不用取整。
公式 2
x→−∞,f(x)→a
∀ε>0,∃X(X>0),x<−X 时,|f(x)−a|<ε
limx→+∞f(x)=a公式 3(合并前两个公式)
x→∞,f(x)→a
∀ε>0,∃X(X>0),|x|>X 时,|f(x)−a|<ε
limx→+∞f(x)=a公式 4
x→x0(趋于有限数)
f(x) 在 x0 的去心邻域内有定义,在 x0 处可以没有定义。
∃a,∀ε>0,∃δ>0,0<|x−x0|<δ,|f(x)−a|<ε
(x 取不到 x0,趋近于 x0)
|x−x0|>0,x0 处是否有定义,取值。
ε:a 的邻域半径。
δ;x0 的淋浴半径。
使函数值都落在 a 的邻域中。
例子:
limx→1(2x+1)=3,limx→+∞sinx→sinx0公式 5
- 左极限(x0>x)
(从左边逼近),0<x0−x<δ
limx→x0−f(x)=a(注意 x0− 的负号,代表从左逼近极限,是左极限)
- 右极限 (x0<x)
(从右边逼近),0<x−x0<δ
limx→x0+f(x)=a(注意 x0+ 的正号,代表从右逼近极限,是右极限)
limx→x0f(x)=a⇔limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)左右极限不存在,x→x0 不存在。
左右极限都存在但是不相等,极限不存在。
例:
f(x)={x(x⩽1)2x+1(x>1)limx→1f(x)左极限:
limx→1−f(x)=1右极限:
limx→1+f(x)=31≠3 所以 x=1 不存在极限。
性质
性质 1:
limf(x)存在,是唯一的。
性质 2:(局部有界性)
limf(x)存在,存在 x0 去心邻域,f(x) 有界。
性质 3:(局部保号性)
limf(x)=a,a>0一定存在去心邻域,f(x)>0
性质 4:
limx→f(x)=a⇔x→x0任意 {xn},
limn→+∞xn→x0limn→+∞xn=a函数:连续
数列:分散(离散)
若找到一个 {xn},数列极限不存在,极限不存在。
两个 {xn},数列极限不相等,原函数极限不存在。
例:
证明
limx→0sin1x不存在。
xn=12nπ+π2→0(x→0,xn→0)limn→∞sinπ2=1xn=12nπ→0(x→0,xn→0)limn→∞sin2nπ=1∵1≠0∴limx→0sin1x不存在。
无穷
无穷小:趋近于 0。
f(x)→0,limx→0x2=0注意变化过程。
无穷小 + 无穷小 →0
无穷小 − 无穷小 →0
无穷小 × 无穷小 →0
无穷小 / 无穷小 →?
?={limx→0xx=1limx→0x2x=12limx→0x2x=0⋮定理 1:
无穷小 x,有界(确定的数)是无穷小 =0。
例 1:
limx→0xsin1x=0|sin1x|⩽1有界
∴limx→0xsin1x=0例 2:
limx→∞sinxx=limx→∞1xsinx=0∵|sinx|⩽1有界
∵limx→∞1x=0∴limx→∞sinxx=0例 3:
limx→∞ardtanxx=0∵ardtanx∈[−π2,π2]∴limx→∞ardtanxx=0定理 2:
limf(x)=a⇔f(x)=a+α(x),limα(x)=0limf(x)=lima+limα(x)=a+0=a无穷大:+∞,−∞。
无穷大 + 有界 → 无穷大
无穷大 × 无穷大 → 无穷大
(关于:(+∞)+(+∞) 一类的运算)
定理 3:
f(x) 无穷大,则 1f(x) 无穷小,同一变化过程。
f(x) 无穷小,则 1f(x) 无穷大。
极限运算
limf(x)=a,limg(x)=b极限存在
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=a+blim(f(x)−g(x))=limf(x)−limg(x)=a−blim(f(x)×g(x))=limf(x)×limg(x)=a×blimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ablimnf(x)=nlimf(x)=n×alim(f(x)n)=(limf(x))n=an常数外提
于 x 无关的变量外提
不能拆无限个的极限运算
lim(f1(x)+f2(x)+f3(x)+…)有限个
每个函数的极限存在
例 1:
limx→1(2x2−x+3)=limx→12x2−limx→1x+3=2−1+3=4例 2:
limx→23x−1x2+6=510=12例 3:
limx→2x+2x−2=∞多项式,只接代入
有理分式,多项式 / 多项式(≠0),只接代入
例 4:
limx→∞2x2+3x+15x2+4x+3分子分母同时除去 x2:
limx→∞2+3x+1x25+4x+3x2∵x→∞∴3x→0∴limx→∞2+3x+1x25+4x+3x2=25- 分子分母同次,最高次的系数比即为答案。
例 5:
limx→02x5+x3+310x5+x2−2=−32注意 x 的极限是什么
例 6:
limx→∞5x2+4x−13x3−2两边同时除 x3:
limx→∞5x+4x2−1x33−2x3=03=0- 分母次数高,结果为 0
例 7:
limx→∞3x3+4x−13x2−2两边同时除 x3:
limx→∞3+4x2−1x33x−2x3=30=∞- 分子次数高,结果为 ∞
例 8:
limx→1x−1x2−1=limx→1x−1(x−1)(x+1)=limx→11x+1=12例 9:
limx→0√x+1−1x=limx→0(√x+1−1)(√x+1+1)x(√x+1+1)=limx→0xx(√x+1+1)=limx→01√x+1+1=12例 10:
limn→∞(1n2+2n2+3n2+…+nn2)=limn→∞12n(n+1)n2=limn→∞12(n+1)n=12(参见例 4 得到的推论)
例 11:
limx→+∞(√x2+x+1−√x2−x+1)=limx→+∞x2+x+1−(x2−x+1)√x2+x+1+√x2−x+1=limx→+∞2x√x2+x+1+√x2−x+1√x2=x,指数时 1。
(参见例 4 得到的推论)
=21+1=1例 12:
limx→3x2−2x+kx−3=4因为 00 会出现结果为常数的情况
limx→3x2−2x+k=0=9−6+k=0k=−3常见求极限的情况
多项式
∞∞
无限项之和
分子有理化
分子分母消去
极限存在准则
夹逼定理
f(x),g(x),h(x) 满足 U(^x0,r)
g(x)⩽f(x)⩽h(x)limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=a⇒limx→x0f(x)=a例:
limn→∞2nn!0<2nn!=2×2×2×…×21×2×3×…×n<2×21×n=4nn→∞ 时,4n→0
∴2nn!→0∴limn→∞2nn!→0定理 2
单调有界数列必有权限。
|xn|⩽M,−M⩽xn⩽M单调增有上界必有极限,单调减有下界必有极限。
例:
a>0,x1=√a,xn=√a+xn−1√a<√a+√a设 xn−1<xn
a+xn−1<a+xn√a+xn−1<√a+xnxn<xn+1∴ 单调增
x1=√a<√a+√a设 xn−1<xn
x1=√a<√a+1,xn<√a+1xn+1=√a+xn<√a+√a+1=√(√a)2+√a+1<√(√a)2+2√a+1=√a+1∴ 有极限
设
limn→∞xn=blimn→∞xn=limn→∞√a+xn−1b=√a+bb2−b−a=0b=1±√1+4a2b=1+√1+4a2(b>0)