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函数极限&极限运算&极限存在准则


函数极限

1x 函数在 (x>0) 的部分:x+,f(x)0

公式 1

x+,f(x)a

a,ε>0,X,x>X 时,|f(x)a|<ε

limx+f(x)=a

例:证明

limx+(12)x=0

ε>0(ε<1),要使 |f(x)0|<ε

(12)x<ε

1ε<2x

xlg2>lg1ε

x>lg1εlg2

X=lg1εlg2

x>X 时,有 |f(x)a|<ε

注意:原来是数列极限xn 代表第 n 项,要 (下取整)但这里的 x实数,所以不用取整。

公式 2

x,f(x)a

ε>0,X(X>0),x<X 时,|f(x)a|<ε

limx+f(x)=a

公式 3(合并前两个公式)

x,f(x)a

ε>0,X(X>0),|x|>X 时,|f(x)a|<ε

limx+f(x)=a

公式 4

xx0(趋于有限数)

f(x)x0去心邻域内有定义,在 x0 处可以没有定义。

a,ε>0,δ>0,0<|xx0|<δ,|f(x)a|<ε

x 取不到 x0,趋近于 x0

|xx0|>0x0 处是否有定义,取值。

εa 的邻域半径。

δx0 的淋浴半径。

使函数值都落在 a 的邻域中。

例子:

limx1(2x+1)=3,limx+sinxsinx0

公式 5

  • 左极限(x0>x
xx0

(从左边逼近),0<x0x<δ

limxx0f(x)=a

(注意 x0负号,代表从左逼近极限,是左极限)

  • 右极限 (x0<x
xx0+

(从右边逼近),0<xx0<δ

limxx0+f(x)=a

(注意 x0+正号,代表从右逼近极限,是右极限)

limxx0f(x)=alimxx0f(x)=limxx0+f(x)
  • 左右极限不存在,xx0 不存在。

  • 左右极限都存在但是不相等,极限不存在。

例:

f(x)={x(x1)2x+1(x>1)limx1f(x)

左极限:

limx1f(x)=1

右极限:

limx1+f(x)=3

13 所以 x=1 不存在极限。

性质

性质 1

limf(x)

存在,是唯一的。

性质 2:(局部有界性)

limf(x)

存在,存在 x0 去心邻域,f(x) 有界。

性质 3:(局部保号性)

limf(x)=a,a>0

一定存在去心邻域,f(x)>0

性质 4

limxf(x)=axx0

任意 {xn}

limn+xnx0limn+xn=a

函数:连续

数列:分散(离散)

  • 若找到一个 {xn},数列极限不存在,极限不存在。

  • 两个 {xn},数列极限不相等,原函数极限不存在。

例:

证明

limx0sin1x

不存在。

xn=12nπ+π20(x0,xn0)limnsinπ2=1xn=12nπ0(x0,xn0)limnsin2nπ=110limx0sin1x

不存在。

无穷

无穷小:趋近于 0

f(x)0,limx0x2=0

注意变化过程。

无穷小 + 无穷小 0

无穷小 无穷小 0

无穷小 × 无穷小 0

无穷小 / 无穷小 ?

?={limx0xx=1limx0x2x=12limx0x2x=0

定理 1

无穷小 x,有界(确定的数)是无穷小 =0

1

limx0xsin1x=0|sin1x|1

有界

limx0xsin1x=0

2

limxsinxx=limx1xsinx=0|sinx|1

有界

limx1x=0limxsinxx=0

3

limxardtanxx=0ardtanx[π2,π2]limxardtanxx=0

定理 2

limf(x)=af(x)=a+α(x),limα(x)=0limf(x)=lima+limα(x)=a+0=a

无穷大:+,

无穷大 + 有界 无穷大

无穷大 × 无穷大 无穷大

(关于:(+)+(+) 一类的运算)

定理 3

f(x) 无穷大,则 1f(x) 无穷小,同一变化过程。

f(x) 无穷小,则 1f(x) 无穷大。

极限运算

limf(x)=a,limg(x)=b

极限存在

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=a+blim(f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=ablim(f(x)×g(x))=limf(x)×limg(x)=a×blimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ablimnf(x)=nlimf(x)=n×alim(f(x)n)=(limf(x))n=an
  • 常数外提

  • x 无关的变量外提

不能拆无限个的极限运算

lim(f1(x)+f2(x)+f3(x)+)
  • 有限个

  • 每个函数的极限存在

1

limx1(2x2x+3)=limx12x2limx1x+3=21+3=4

2

limx23x1x2+6=510=12

3

limx2x+2x2=
  • 多项式,只接代入

  • 有理分式,多项式 / 多项式(0),只接代入

4

limx2x2+3x+15x2+4x+3

分子分母同时除去 x2

limx2+3x+1x25+4x+3x2x3x0limx2+3x+1x25+4x+3x2=25
  • 分子分母同次,最高次的系数比即为答案。

5

limx02x5+x3+310x5+x22=32

注意 x 的极限是什么

6

limx5x2+4x13x32

两边同时除 x3

limx5x+4x21x332x3=03=0
  • 分母次数高,结果为 0

7

limx3x3+4x13x22

两边同时除 x3

limx3+4x21x33x2x3=30=
  • 分子次数高,结果为

8

limx1x1x21=limx1x1(x1)(x+1)=limx11x+1=12

9

limx0x+11x=limx0(x+11)(x+1+1)x(x+1+1)=limx0xx(x+1+1)=limx01x+1+1=12

10

limn(1n2+2n2+3n2++nn2)=limn12n(n+1)n2=limn12(n+1)n=12

(参见例 4 得到的推论)

11

limx+(x2+x+1x2x+1)=limx+x2+x+1(x2x+1)x2+x+1+x2x+1=limx+2xx2+x+1+x2x+1

x2=x,指数时 1

(参见例 4 得到的推论)

=21+1=1

12

limx3x22x+kx3=4

因为 00 会出现结果为常数的情况

limx3x22x+k=0=96+k=0k=3

常见求极限的情况

  • 多项式

  • 无限项之和

  • 分子有理化

  • 分子分母消去

极限存在准则

夹逼定理

f(x),g(x),h(x) 满足 U(^x0,r)

g(x)f(x)h(x)limxx0g(x)=limxx0h(x)=alimxx0f(x)=a

例:

limn2nn!0<2nn!=2×2×2××21×2×3××n<2×21×n=4n

n 时,4n0

2nn!0limn2nn!0

定理 2

单调有界数列必有权限。

|xn|M,MxnM

单调增有上界必有极限,单调减有下界必有极限。

例:

a>0,x1=a,xn=a+xn1a<a+a

xn1<xn

a+xn1<a+xna+xn1<a+xnxn<xn+1

单调增

x1=a<a+a

xn1<xn

x1=a<a+1,xn<a+1xn+1=a+xn<a+a+1=(a)2+a+1<(a)2+2a+1=a+1

有极限

limnxn=blimnxn=limna+xn1b=a+bb2ba=0b=1±1+4a2b=1+1+4a2(b>0)

文章作者: 王大神——A001
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