自然对数 e
很自然的一个常数(手动划掉)
再网上翻看了不少资料后,发现它并没有 ππ 那么简单理解,更多的解释是一个值为 2.71828182845904523536⋯2.71828182845904523536⋯ 的常数,原因是发现不同方面都有它的身影。
我们从几个简单的例子入手,来大概了解一下它的“自然”。
增长极限
我们知道到银行存钱可以“生钱”,一般都会标明“复利”这一概念(通俗来讲:存多少钱,存几年,给多少钱)。那么如果增加涨钱,你会立刻得到很多钱么?
先在假设在 11 个单位时间内,涨一次钱,每次涨一倍,那么用公式来表达:
growth=(1+100%)=2growth=(1+100%)=2growthgrowth 代表增长率,现在我们让他增长的快一些,在 11 个单位时间内,涨两次钱,那么平均 1212 个单位时间涨一次钱:
growth=(1+100%2)2=2.25growth=(1+100%2)2=2.25如果单位时间内涨 1000010000 次,你会一夜暴富么?
growth=(1+100%10000)10000≈2.7181459268growth=(1+100%10000)10000≈2.7181459268嗯?怎么和想象的不一样?别急,如果我们单位时间内增长 nn 次,就有公式:
growth=limn→∞(1+100%n)n≈2.7182818284…=egrowth=limn→∞(1+100%n)n≈2.7182818284…=e我们的 ee 出现了。根据自然增长,“涨”的次数越多,却不会很快的变多,而是有极限的 ee(虽然它是无限不循环小数)。试想,这其实和现实中的细胞分裂道理相同,如果不加限制的快速增长,那世界会变成什么样子?所以这个常数确实非常“符合”“自然”。
e=limx→∞(1+1n)ne=limx→∞(1+1n)n注意:如果增加涨钱,确实会立刻的到很多钱,我们刚刚讨论的是增长率。
“加减术”
2sinA×cosB=sin(A+B)+sin(A−B)
在很久很久以前如果要计算 0.258819×0.984808 会是一个非常麻烦的事情,只能靠手算还要考虑进位。但是有了“加减术”后,可以在三角函数表中找到 0.258819≈sin15∘,0.984808≈cos10∘。
那么就可以直接套公式了:
sin15∘×cos10∘=12(sin25∘+sin5∘)然后在三角函数表中找到:sin25∘≈0.422618,sin5∘≈0.087156,得出结果:≈0.254887。
乘法运算变成了加法运算,是不是很神奇?和 FFT 的想法有些相似。
约翰.纳皮尔对数

约翰.纳皮尔用运动来描述对数,一开始有两个粒子,分别在直线和线段上运动,在一开始时两个粒子的初速度相同,但是上面的 b 粒子是匀速直线运动,下面的 β 粒子的速度在数值上与它终点的距离相等。
经过对 β 粒子速度的分析(需要微积分的知识,感兴趣的读者可以上网查阅相关内容),最后的到约翰.纳皮尔对数是 1e 为底的对数。
随后他有制成了 107 的对数表(把圆等分成 107 份的精确度),运用方法和“加减术”相同。单他简化的是开放乘法计算,类似于:√a×b 在表中分别找到 a 对应的值 ka,b 对应的值 kb,最后 √a×b=ka+kb2
无穷级数
e=∞∑x=01i!=10!+11!+12!+13!+…相关公式
- 欧拉公式:
- 素数定理:
π(x) 代表小于等于x的素数的个数。
- 高斯正态分布:
σ 代表标准差,σ2 代表方差。
平时就当成和 π 一样的常数处理就行了,只不过,它很“自然”。