自然对数e

自然对数 e

很自然的一个常数（手动划掉）

再网上翻看了不少资料后，发现它并没有 $\pi$ 那么简单理解，更多的解释是一个值为 $2.71828182845904523536⋯$ 的常数，原因是发现不同方面都有它的身影。

我们从几个简单的例子入手，来大概了解一下它的“自然”。

增长极限

我们知道到银行存钱可以“生钱”，一般都会标明“复利”这一概念（通俗来讲：存多少钱，存几年，给多少钱）。那么如果增加涨钱，你会立刻得到很多钱么？

先在假设在 $1$ 个单位时间内，涨一次钱，每次涨一倍，那么用公式来表达：

$$growth=(1+100\%)=2$$

$growth$ 代表增长率，现在我们让他增长的快一些，在 $1$ 个单位时间内，涨两次钱，那么平均 $\frac{1}{2}$ 个单位时间涨一次钱：

$$growth=(1+\frac{100\%}{2})^2=2.25$$

如果单位时间内涨 $10000$ 次，你会一夜暴富么？

$$growth=(1+\frac{100\%}{10000})^{10000}\approx 2.7181459268$$

嗯？怎么和想象的不一样？别急，如果我们单位时间内增长 $n$ 次，就有公式：

$$growth=\lim_{n\to \infty}(1+\frac{100\%}{n})^n\approx 2.7182818284…=e$$

我们的 $e$ 出现了。根据自然增长，“涨”的次数越多，却不会很快的变多，而是有极限的 $e$（虽然它是无限不循环小数）。试想，这其实和现实中的细胞分裂道理相同，如果不加限制的快速增长，那世界会变成什么样子？所以这个常数确实非常“符合”“自然”。

$$e=\lim_{x\to \infty}{(1+\frac{1}{n})^{n}}$$

注意：如果增加涨钱，确实会立刻的到很多钱，我们刚刚讨论的是增长率。

“加减术”

$2\sin A\times \cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$

在很久很久以前如果要计算 $0.258819\times 0.984808$ 会是一个非常麻烦的事情，只能靠手算还要考虑进位。但是有了“加减术”后，可以在三角函数表中找到 $0.258819\approx \sin{15}^{\circ},0.984808\approx \cos{10}^{\circ}$。

那么就可以直接套公式了：

$$\sin{15}^{\circ}\times\cos{10}^{\circ}=\frac{1}{2}(\sin{25}^{\circ}+\sin{5}^{\circ})$$

然后在三角函数表中找到：$\sin{25}^{\circ}\approx0.422618,\sin{5}^{\circ}\approx0.087156$，得出结果：$\approx0.254887$。

乘法运算变成了加法运算，是不是很神奇？和 FFT 的想法有些相似。

约翰.纳皮尔对数

约翰.纳皮尔对数

约翰.纳皮尔用运动来描述对数，一开始有两个粒子，分别在直线和线段上运动，在一开始时两个粒子的初速度相同，但是上面的 $b$ 粒子是匀速直线运动，下面的 $\beta$ 粒子的速度在数值上与它终点的距离相等。

经过对 $\beta$ 粒子速度的分析（需要微积分的知识，感兴趣的读者可以上网查阅相关内容），最后的到约翰.纳皮尔对数是 $\frac{1}{e}$ 为底的对数。

随后他有制成了 $10^7$ 的对数表（把圆等分成 $10^7$ 份的精确度），运用方法和“加减术”相同。单他简化的是开放乘法计算，类似于：$\sqrt{a\times b}$ 在表中分别找到 $a$ 对应的值 $k_a$，$b$ 对应的值 $k_b$，最后 $\sqrt{a\times b}=\frac{k_a+k_b}{2}$

无穷级数

$$e=\sum_{x=0}^{\infty}{\frac{1}{i!}}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…$$

相关公式

• 欧拉公式：

$$e^{i\pi}+1=0$$

• 素数定理：

$$\lim_{e\to \infty}{\frac{\pi(x)\ln{x}}{x}}=1$$

$\pi(x)$ 代表小于等于x的素数的个数。

• 高斯正态分布：

$$f(x)=(\sqrt{2\pi}\times \sigma)^{-1}\times e^{-\frac{(x-a)^2}{2{\sigma}^2}}$$

$\sigma$ 代表标准差，$\sigma^2$ 代表方差。

平时就当成和 $\pi$ 一样的常数处理就行了，只不过，它很“自然”。