定积分&广义定积分&瑕积分

不定积分&积分法

定积分

• 概念

求曲边梯形面积

我们在 $(a,b)$ 找很多点 $a < x_1 < x_2 < x_3 < …, < x_n < b$ 再分别计算每段 $\Delta x_i$ 中找一个点 $\xi_i$ 对应的函数值。

$$A=\Delta x_1f(\xi_1)+\Delta x_2f(\xi_2)+…+\Delta x_nf(\xi_n)$$ $$A\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)}\Delta x_i}$$

• 定义：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 有界，在 $[a,b]$ 上任意点插入分点，分成 $n$ 个小区间，$\Delta x_1,\Delta x_2,…,\Delta x_n$ 任取一点 $\xi_i$。

$$\int^b_a{\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}}$$ $$\lambda=max(\Delta x_1,\Delta x_2,…,\Delta x_n)$$

$a$ 积分下限，$b$ 积分上限，$x$ 积分变量。

注意：只与 $f(x)$ 与 $[a,b]$ 有关，与积分变量无关。

$$\int_a^b{f(x)dx},\int_a^b{f(t)dt}$$

• 连续可积

• 有界，有限个断点可积

几何意义：

• $f(x)\ge 0$

• $f(x)\le 0$

$$f(\xi_i)\Delta x < 0,f(\xi_i) < 0,\Delta x > 0$$

• $f(x)$ 有正有负

• 练习：

• $$\int_0^1{x^2dx}$$

$[0,1]$ 登 $n$ 份，每份 $\frac{1}{n}$。

$$x_i=\frac{i}{n},\xi_i=\frac{i}{n}$$ $$\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}=\sum_{i=1}^{n}{(\frac{i}{n})^2}\times \frac{1}{n}$$ $$=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n{i^2}$$ $$=\frac{1}{n^3}\times\frac{1}{6}\times n\times (n+1)\times (2n+1)$$ $$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$$

$\frac{\infty}{\infty}$ 洛必达法则：

$$=\frac{1}{3}$$

逼近面积

• 矩形法

每份 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$

$$\frac{b-a}{n}y_1+\frac{b-a}{n}y_2+…+\frac{b-a}{n}y_n$$ $$=\frac{b-a}{n}(y_1+y_2+…+y_n)$$

• 梯形法：

每个 $x_i$ 对应的函数值为 $y_i$。

$$\frac{b-a}{n}(\frac{y_0+y_1}{2}+\frac{y_1+y_2}{2}+…+\frac{y_{n-1}+y_{n}}{2})$$ $$=\frac{b-a}{n}(\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+…+y_{n-1})$$

• 抛物线：

抛物线函数：$y=ax^2+bx+c$

所以三个点可以确定一个抛物线，假设找到了 $x_1,x_2,x_3$ 三个值，并求出 $y_1,y_2,y_3$，根据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ 可以确定一个函数。

然后求出函数上三个点涵盖的下方的位置。

定积分性质

• $$b=a$$

$$\int_a^a{f(a)}=0$$

• $$\int^{b}_{a}{f(x)dx}=-\int^a_b{f(x)dx}$$
• $$\int^b_a{(k_1f(x)+k_2g(x))dx}=k_1\int^b_a{f(x)dx}+k_2\int^b_a{g(x)dx}$$
• $$\int^b_a{f(x)dx}=\int^c_a{f(x)dx}+\int^b_c{f(x)dx}$$

$$a < c < b$$

$$\int^b_a{f(x)dx}=\int^c_a{f(x)dx}+\int^b_c{f(x)dx}$$ $$a < b < c$$

$$\int^b_a{f(x)dx}=\int^c_a{f(x)dx}-\int^c_b{f(x)dx}$$ $$\int^b_a{f(x)dx}=\int^c_a{f(x)dx}+\int^b_c{f(x)dx}$$

• $$f(x)\equiv 1$$

$$\int^b_a{1dx}=b-a$$ $$\int^b_a{kdx}=k(b-a)$$

• 同号

$$f(x)\ge 0,\int^b_a{f(a)dx}\ge 0$$ $$f(x)\le 0,\int^b_a{f(a)dx}\le 0$$

• 推论：

• $$f(x)\le g(x)$$

$$\int^b_a{f(x)dx}\le\int^b_a{g(x)dx}$$ $$g(x)-f(x)\ge 0$$ $$\int^b_a{(g(x)-f(x))dx}\ge0$$

• $$|\int^b_a{f(x)dx}|\le\int^b_a{|f(x)|dx}$$

$$-|f(x)|\le f(x)\le|f(x)|$$ $$-\int^b_a{|f(x)|dx}\le \int^b_a{f(x)dx}\le \int^b_a{|f(x)|dx}$$

• $M,m$ 为最大值，最小值，$m(b-a)\le\int^b_a{f(x)dx}\le M(b-a)$

• 定积分的中值定理

$f(x)$ 连续，$\exists \xi \in[a,b]$

$$\int^b_a{f(x)dx}=f(\xi)(b-a)$$

$$m(b-a)\le\int^b_a{f(x)dx}\le M(b-a)$$ $$m\le\frac{1}{(b-a)}\int^b_a{f(x)dx}\le M$$

其中 $\frac{1}{b-a}\int^b_a{f(x)dx}$ 是一个数。

积分上限函数

$$\int^b_a{f(x)dx}$$ $$\int^x_a{f(t)dt}$$

其中 $x$ 变成自变量。

$$P(x)=\int^x_a{f(t)dt},x\in[a,b]$$ $$P^{'}{(x)}=f(x)$$

• 上限是 $x$，直接带入被积函数：

$$(\int^x_{-1}{\sin t^3dt})^{'}=\sin x^3$$

• 下限是 $x$，直接带入被积函数后前面加 $-$：

$$(\int^5_x{\cos t^3dt})^{'}=(-\int^x_5{\cos t^3dt})^{'}=-\cos x$$

• $$y=\int^{x^2}_1{\sin t dt}$$

设 $k=x_2$

$$\int^{k}_1{\sin t dt}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dk}\frac{dk}{dx}$$ $$=\sin k\times 2x=\sin x^2\times 2x$$

上限是 $g(x)$，首先将 $g(x)$ 带入被积函数，并计算 $g^{‘}{(x)}$。

下限是 $g(x)$，首先将 $g(x)$ 带入被积函数，并计算 $g^{‘}{(x)}$，最后前面加符号。

• $$(\int ^{g(x)}_{h(x)}{f(t)dt})^{'}$$

$$=(\int ^{c}_{h(x)}{f(t)dt}+\int ^{g(x)}_{c}{f(t)dt})^{'}$$ $$=f(g(x))\times g^{'}{(x)}-f(h(x))\times h^{'}{(x)}$$

• 练习：

• $$\lim_{x\to 0}{\frac{\int^x_0{\arctan tdt}}{x^2}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\arctan x}{x^2}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{1+x^2}}{2}}$$
• $$\lim_{x\to 0}{\frac{\int^x_0{\int^{u^2}_0\arctan {(1+t)}dtdu}}{x(1-\cos x)}}$$

$\frac{0}{0}$ 洛必达法则

首先明白：

$$(\int_0^x{\sin tdt})^{'}=\sin x$$

所以有：

$$\lim_{x\to 0}{\frac{\int^{x^2}_0{\arctan {(1+t)}dt}}{1-\cos x+x\sin x}}$$

$\frac{0}{0}$ 洛必达法则

$$\lim_{x\to 0}{\frac{2x\arctan {(1+x^2)}}{2\sin x+x\cos x}}$$ $$\lim_{x\to 0}{\frac{2\arctan {(1+x^2)}}{2\frac{\sin x}{x}+\cos x}}$$

无穷小替换可以快速出结果。

牛顿—莱布尼公式

$$\int^b_a{f(x)dx}=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a)$$

实现定积分与不定积分的转换。

$$\int{f(x)dx}=F(x)+c$$

• $$\int_0^{\frac{1}{2}}{e^{2x}dx}=\frac{1}{2}\left.e^{2x}\right|_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}$$
• $$\int_{-1}^{3} {|2-x|dx}=\int_{-1}^{2} {(2-x)dx}+\int_{2}^{3} {(x-2)dx}$$

$$|2-x|= \begin{cases} 2-x,x\le 2\\ x-2,x > 2 \end{cases}$$

• 分类计算：

$$f(x)= \begin{cases} 2x,0\le x\le 1\\ 2+x,1 < x \le 2 \end{cases}$$

$P(x)=\int^x_0{f(t)dt}$ 在 $[0,2]$ 的值：

• $x\in [0,1]$

$$P(x)=\int^x_0{f(t)dt}=\int^x_0{2tdt}=\left. t^2\right|_0^x=x^2$$

• $x\in (1,2]$

$$P(x)=\int^x_0{f(t)dt}=\int^1_0{2tdt}+\int^x_1{(2+t)dt}$$

带入计算即可。

换元积分方法

$$x=g(t)$$

• $g(t)$ 单调递减（增）

• 上下限改变，原变量上限对新变量上限，原变量下限对新变量下限。

$$\int^b_a{f(x)dx}=\int^d_c{f(g(t))g^{'}{(t)}dt}$$

换元时，上下限跟着换。

• 练习：

• $$\int^8_0{\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x}}}$$

设 $t=\sqrt[3]{x},t^3=x,dx=3t^2dt$。

$x$ 从 $0$ 到 $8$，$t$ 从 $0$ 到 $2$。

$$\int^2_0{\frac{3t^2dt}{1+t}}=3\int^2_0{(t-1+\frac{1}{t+1})dt}$$

• $$\int^a_0{\sqrt{a^2-x^2}dx},(a > 0)$$

$$x=a\sin t$$

$x$ 从 $0$ 到 $a$，$t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。

$$dx=a\cos tdt$$ $$=\int^\frac{\pi}{2}_0{\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}a\cos tdt}$$ $$=\int^\frac{\pi}{2}_0{a^2\cos^2tdt}$$ $$=a^2\int^\frac{\pi}{2}_0{\frac{1+\cos 2t}{2} dt}$$ $$=\frac{1}{4}\pi a^2$$

函数奇偶性影响

• $f(x)$ 偶：

$$\int_a^a{f(x)dx}=2\int _0^a{f(x)dx}$$

• $f(x)$ 奇：

$$\int _{-a}^a{f(x)dx}=\int_{-a}^0{f(x)dx}+\int _0^a{f(x)dx}=0$$

• 练习：

$$\int _{-1}^1{\frac{\sin^3 x+(\arctan x)^2}{1+x^2}dx}$$ $$=\int _{-1}^1{\frac{\sin^3 x}{1+x^2}dx}+\int_{-1}^1{\frac{(\arctan x)^2}{1+x^2}dx}$$

$\sin^3 x$ 奇函数，$1+x^2$ 偶函数，$\frac{\sin^3 x}{1+x^2}$ 奇函数，根据它的范围所以：

$$\int _{-1}^1{\frac{\sin^3 x}{1+x^2}dx}=0$$

$(\arctan x)^2$ 偶函数，$1+x^2$ 偶函数，$\frac{(\arctan x)^2}{1+x^2}$ 偶函数，根据它的范围所以：

$$\int_{-1}^1{\frac{(\arctan x)^2}{1+x^2}dx}=2\int_0^1{\frac{(\arctan x)^{2}}{1+x^2}dx}$$ $$=\left.\frac{2}{3}(\arctan x)^3\right|_0^1$$

• 证明：

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin ^nx dx}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos ^nx dx}$$

令 $x=\frac{\pi}{2}-t,dx=-dt$

$x$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，$t$ 从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $0$。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin ^nx dx}=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0{\sin{(\frac{\pi}{2}-t)} dx}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos ^nx dx}$$

部分积分法

不定积分：

$$\int{udv}=uv-\int{vdu}$$

定积分：

$$\int_a^b{udv}=\left.uv\right|_a^b-\int_a^b{vdu}$$ $$\int_1^5{\ln xdx}=\left.x\ln x\right|_1^5-\int_1^5xd\ln x$$ $$=\left.x\ln x\right|_1^5-\int_1^51dx$$

• 将里面的提到 $d$ 后面一般的顺序（优先级）：

$$e^x > \sin x = \cos x > x$$

• 练习：

$$f(x)= \begin{cases} e^{x^2}\sin x,x< 1\\ x\ln x.x\ge 1 \end{cases} ,\int _1^4{f(x-2)dx}=$$

$x-2=t$，$x$ 从 $1$ 到 $4$，$t$ 从 $-1$ 到 $2$，$dx=dt$

$$\int_{-1}^2{f(t)dt}=\int _{-1}^{1}{e^{t^2}\sin tdt}+\int_1^2{t\ln tdt}$$ $$=0+\int_1^2{t\ln tdt}$$

积分实际用例

求面积

• 两函数夹的面积

上面的是 $y=f(x)$，下面的是 $y=g(x)$ 用上面的值减下面的值，求得面积，由于面积 $> 0$ 所以要注意是上面减下面。

$$\int_a^b{(f(x)-g(x))dx}$$

左面的是 $x=g(y)$，右面的是 $x=h(y)$ 用右面的值减左面的值，求得面积，由于面积 $> 0$ 所以要注意是右面减左面。注意这时最好将表达式转换成用 $y$ 描述 $x$。

$$\int_c^d{(h(y)-g(y))dy}$$

• 练习：

$$y=\frac{1}{x},y=x,x=2$$

$$\int_1^2{(x-\frac{1}{x})dx}$$

• 画图

• 判断垂直于哪个轴

• 保证，上 $-$ 下，右 $-$ 左（分区间讨论）。

• 练习：

• 求 $y\in[-2,4]$ 中 $y=x-4$ 和 $y^2=2x$ 围成的面积。

改写表达式：

$$x=y+4,x=\frac{y^2}{2}$$ $$\int_{-2}^4{(y+4-\frac{y^2}{2})dy}$$

求体积

$$v=\int_a^b{A(x)dx}$$

$A(x)$ 代表的是当前 $x$ 值对应的横截面积。

• 绕x轴旋转

$$v=\int_a^b{\pi f(x)^2dx}$$

• 绕y轴旋转

$$v=\int_a^b{\pi g(y)^2dy}$$

求 $x+y=4$ 和 $xy=3$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转形成的体积。

截面图：

$$\int_1^3{\pi((4-y)^2-(\frac{3}{y})^2)dy}$$

经济问题

• 边际函数 $\rightarrow$ 原函数

总产量变化率 $f(t)=100+12t-0.6t^2$ 求，$t=2$ 到 $t=4$ 的产量。

$P(t)$ 是产量。

$$P(4)-p(2)=\left.P(t)\right|_2^4=\int_2^4{(100+12t-0.6t^2)dt}$$

• 取钱

年利率 $r$。

$$P(t)=P(0)(1+r)^t$$

$P(0)$ 现在的钱，$P(t)$ 以后的钱。

$$P(0)=P(t)(1+r)^{-t}$$

一年结 $n$ 次，每次利率 $\frac{r}{n}$，$t$ 年结 $nt$ 次。

$$P(t)=P(0)(1+\frac{r}{n})^=P(0)((1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}})^{rt}\rightarrow P(0)e^{rt}$$ $$P(0)=P(t)e^{-rt}$$

• 投资收益

$R(t)$ 每年的收益，$R$ 总收益。

$$R=\int_0^n{R(t)e^{-rt}dt}$$

如果 $R(t)$ 是常数：

$$R=\frac{A}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^n})$$

• 练习：

• $50$ 万投资 $10$ 年，每次分得 $4\%$，每年收益多少钱？

$50=A\int_0^10{e^{-0.04t}dt}$

$A=6.066$ 万元。

广义积分

• 无限积分

$$\int_a^{+\infty}{f(x)dx}=\lim_{b\to +\infty}{\int_a^b{f(x)dx}}$$

$$\int_{-\infty}^b{f(x)dx}=\lim_{a\to -\infty}{\int_a^b{f(x)dx}}$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)dx}=\int_{-\infty}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{+\infty}{f(x)dx}$$

分别用 $1,2$ 的情况处理即可。

• 练习：

• $$\int_0^{+\infty}{e^{-x}dx}=\lim_{b\to +\infty}{\int_0^b{e^{-x}dx}}=\lim_{b\to +\infty}{\left.-e^{-x}\right|_0^b}$$

$$=\lim_{b\to +\infty}{(\frac{1}{-e^b}+1)}=1$$

广义牛顿-莱布尼公式

$$\int_0^{+\infty}{f(x)dx}=\lim_{b\to +\infty}{\int_0^b{f(x)dx}}=\lim_{b\to +\infty}{\left.F(x)\right|_0^b}$$ $$=\lim_{b\to \infty}{(F(b)-F(0))}$$ $$\int_0^{+\infty}{f(x)dx}=\left.F(x)\right|_0^{+\infty}=F(+\infty)-F(0)$$ $$\int^0_{-\infty}{f(x)dx}=\left.F(x)\right|^0_{-\infty}=F(0)-F(-\infty)$$ $$\int^{+\infty}_{-\infty}{f(x)dx}=\left.F(x)\right|^{+\infty}_{-\infty}=F(+\infty)-F(-\infty)$$

• 练习：

$$\int^{+\infty}_{-\infty}{\frac{dx}{1+x^2}}=\left.\arctan x\right|_{-\infty}^{+\infty}=\pi$$

发散，收敛

$$\int^{+\infty}_0{\cos xdx}$$

发散。

$$=\left.\sin x\right|_0^{+\infty}$$

• 练习：

$$\int^{+\infty}_1{\frac{1}{x^p}dx}= \begin{cases} \frac{1}{p-1},p>1\\ \text{发散},p \le 1 \end{cases}$$

• 常数：

$$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

收敛。那么：

$$\int^{+\infty}_a{kf(x)dx}$$

收敛。

$$\int^{+\infty}_a{kf(x)dx}=k\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

• 函数之间加减

$$\int^{+\infty}_a{f(x)dx},\int^{+\infty}_a{g(x)dx}$$

收敛。那么：

$$\int^{+\infty}_a{f(x)\pm g(x)dx}$$

收敛。

收敛判定

• 定理：$f(x\ge 0)$

$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $p(x)\int^{x}_a{f(t)dt}$ 有界

• 定理比较：$0\le f(x)\le g(x)$

• $$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

收敛，那么：

$$\int^{+\infty}_a{g(x)dx}$$

是收敛。

• $$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

发散，那么：

$$\int^{+\infty}_a{g(x)dx}$$

发散。

• 练习：

$$\int^{+\infty}_0{e^{-x^2}dx}=\int^{1}_0{e^{-x^2}dx}+\int^{+\infty}_1{e^{-x^2}dx}\le\int^{+\infty}_1{e^{-x}dx}$$ $$=\left.-e^{-x}\right|_1^{+\infty}=-\frac{1}{e^x}+\frac{1}{e}=\frac{1}{e}$$

收敛。

条件收敛，绝对收敛

如果：

$$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

收敛，

$$\int^{+\infty}_a{|f(x)|dx}$$

收敛，那么：

$$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

绝对收敛。如果：

$$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

收敛，

$$\int^{+\infty}_a{|f(x)|dx}$$

发散，那么：

$$\int^{+\infty}_a{f(x)dx}$$

条件收敛。

$\int^{+\infty}_a{|f(x)|dx}$ 收敛 $\Rightarrow \int^{+\infty}_a{f(x)dx}$ 收敛。

瑕积分

在 $b$ 上没有定义。那么就让 $b$ 向左亿点点（$-\xi^{+}$）

$$\int^{b}_a{f(x)dx}=\lim_{\xi^{+}\to 0}{\int_a^{b-\xi^{+}}{f(x)dx}}$$

同样：

$a$ 没有定义：

$$\int^{b}_a{f(x)dx}=\lim_{\xi^{+}\to 0}{\int_{a+\xi^{+}}^{b}{f(x)dx}}$$

中间未定义：

$$\int^{b}_a{f(x)dx}=\int^{c}_a{f(x)dx}+\int^{b}_c{f(x)dx}$$

带入情况 $1,2$ 即可。

• 练习：

• $$\int^{1}_0{\ln xdx}$$

$$=\lim_{\xi\to 0^{+}}{\int_\xi^1{\ln xdx}}$$ $$=\lim_{\xi\to 0^{+}}{(-1-\xi\ln \xi+\xi)}$$ $$=-1-\lim_{\xi\to 0^{+}}{(\xi\ln \xi)}$$ $$\lim_{\xi\to 0^{+}}{(\xi\ln \xi)}=\lim_{\xi\to 0^{+}}{\frac{\ln \xi}{\frac{1}{\xi}}}=\lim_{\xi\to 0^{+}}{\frac{\frac{1}{\xi}}{-\frac{1}{\xi^2}}}=0$$ $$=-1$$

• 中间没有定义：

$$\int^{1}_0{\frac{1}{x^p}dx}= \begin{cases} \frac{1}{1-p},0 < p < 1\\ \text{发散},p \ge 1 \end{cases}$$ $$\int^{+\infty}_1{\frac{1}{x^p}dx}= \begin{cases} \frac{1}{p-1},p>1\\ \text{发散},p \le 1 \end{cases}$$

$\Gamma$ 函数

$$\Gamma(r)=\int_0^{+\infty}{x^{r-1}e^{-x}dx},(r > 0)$$ $$\Gamma(r+1)=r\Gamma(r)$$ $$\Gamma(8)=7!,\Gamma(n+1)=n!$$

• 练习：

$$\int_0^{+\infty}{x^5e^{-x}dx}=\Gamma(6)=5!$$