导数
连续 $\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$。
变化率：$x_0\to x_0+\Delta x,f(x_0)\to f(x_o+\Delta x)$
$y=f(x)$，在 $x_0$ 邻域 $U(x_0)$ 有定义 $\Delta x\not= 0,x_0+\Delta x\in U(x_0)$
导数四种符号：
平常有时候也写成：
表示对 $x_0$ 求导。
切线斜率：
常用导数公式
$n$ 为实数。
$c$ 为常数。
可导
切线：
法线：
左可导，$f^{‘}_{-}{(x_0)}$
右可导，$f^{‘}_{+}{(x_0)}$
$[a,b]$
可导。
可导 $\Leftrightarrow$
可导必连续
练习：
$y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处。
求导法则
- 加法：
$u(x),v(x)$ 可导。
左边是有限个函数。
- 练习：
- 乘法：
设 $c$ 是常数：$(cu)^{‘}=c^{‘}u+cu^{‘}=cu^{‘}$
- 除法：
- 练习：
- 反函数：
$y=f(x),x=g(y)$（互为反函数）
$g^{‘}(y)=\frac{1}{f^{‘}(x)}$（互为倒数）
$y=a^x$ 反函数： $x=\log_a{y}(y>0)$
- 复合函数：
这就是“链式法则”。
- 练习：
高阶导数
这是二阶导数。
三阶导数：
四阶导数：
$4$ 阶及以上的导数直接写数字即可，注意加括号，和幂区分。
$n$ 阶导数：
- 练习：
- 对于某个未知数求导要表明！
求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 即 $f^{‘’}{(x)}$（$r$ 是常数）。
如果用一般的思路用 $y$ 去表达 $x$ 会发现要对式做很复杂的调整，所以我们直接整体求导：
两边同时对 $x$ 求导：
- 第四种求导表示法（上面介绍的四种书写方法的最后一种）：
这里我们一般采用第一种写法，但是要知道上面的等式成立。
这里的时候 $\frac{dx}{dt}$ 我们用的是整体思想，但是其实 $dx$ 和 $dt$ 是个体，在后面的微分中介绍。意义是 $dx$ 对于 $dt$ 求导。
导数规律小结
- 降幂：
- 自然对数：
- 分式：
- 三角函数：
- 分配律：
