不定积分&积分法 | 王大神—

数论函数多项式导数极限数列微积分

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发布日期: 2021-12-14

更新日期: 2021-12-15

文章字数: 279

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中值定理&泰勒展开&洛必达法则&函数凹凸及绘制

不定积分

通俗来讲就是导数的逆运算，要将导函数还原成原函数。

由于在“导”的时候，我们做了一些“取舍”，所以会导致找到的原函数不唯一。

例子：

$(x^3)^{'}=3x^2,(x^3+2)^{'}=3x^2$

$c$ 为常数：$(x^3+c)^{‘}=3x^2$

如果 $F^{‘}{(x)}=f{(x)}$，那么 $F{(x)}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

定义：

$f(x)$

原函数全体。

$\int{f(x)dx}$

$\int$ 积分符号，$x$ 积分变量，$f(x)$ 被积函数，$f(x)dx$ 被积表达式。

练习（请保证导数各种公式已经非常熟悉）：
$1$：

$\int{x^2dx}=\frac{1}{3}x^3+c$ $(x^3)^{'}=3x^2\Rightarrow x^2=(\frac{1}{3}x^3)^{'}$ $(x^n)^{'}=nx^{n-1}$

注意 $c$ 一定不能省略，它代表一个常数，我们表达的是原函数全体。

$\int{x^ndx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$

$2$：

$\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\arcsin x+c$ $(\arcsin x)^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$3$（定义域不同）：

$\int{\frac{1}{x}dx}= \begin{cases} \ln x+c (x > 0)\\ \ln (-x)+c(x<0) \end{cases} =\ln|x|+c$ $(\ln x)^{'}=\frac{1}{x}$

几何意义：（$c$ 的不同使函数图像上下移动，上加下减）

斜率相同

$4$：

$(2,5)$ 的切线斜率为 $2x$：

$\int{2xdx}=x^2+c$ $y=x^2+c$ $5=4+c$ $c=1$ $y=x^2+1$

性质：

$1$：

$(\int{f(x)dx})^{'}=f(x)$

$2$：

$\int{f^{'}{(x)}dx}=f(x)+c$

当有常量或和 $x$ 的无关变量可以直接外提（假设 $k$ 是与 $x$ 无关变量）：

$\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}$ $\int{3f(x)dx}=3\int{f(x)dx}$

$3$：

$\int{(f_1(x)+f_2(x)+…+f_n{(x)})dx}=\int f_1{(x)}dx+\int f_2{(x)}dx+…+\int f_n{(x)}dx$

基本积分公式

$1$：

$\int{0dx}=c$

（$c$ 是常数）

$2$：

$\int{x^adx}=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+c$ $(a\not=-1)$

$3$：

$\int{\frac{1}{x}dx}=\ln|x|+c$

$4$：

$\int{a^xdx}=\frac{1}{\ln a}a^x+c$

$5$：

$\int{e^xdx}=e^x+c$

$6$：

$\int{\sin xdx}=-\cos x+c$

$7$：

$\int{\cos xdx}=\sin x+c$

$8$：

$\int{\sec^2 xdx}=\tan x+c$

$9$：

$\int{\csc^2 xdx}=-\cot x+c$

$10$：

$\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx}=\arcsin x+c$

$11$：

$\int{\frac{1}{1+x^2} dx}=\arctan x+c$

$12$：

$\int{\sec x\tan xdx}=\sec x+c$

$13$：

$\int{\csc x\cot xdx}=-\csc x+c$

练习：
$\int{(2x^2-3x+5)dx}=\int{2x^2dx}-\int{3xdx}+\int{5dx}$

$=\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+5x+c$

$\int{\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}dx}=\int{\frac{x^2-2x+1}{x^{\frac{3}{2}}}dx}$

$=\int{(x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{3}{2}})dx}$ $=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-4x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+c$

$\int{\frac{x^4}{1+x^2}dx}=\int{\frac{x^4-1+1}{1+x^2}}$

$=\int{\frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x^2+1}dx}+\int{\frac{1}{1+x^2}dx}$ $=\int{(x^2-1)dx}+\int{\frac{1}{1+x^2}dx}$ $=\int{x^2dx}-\int{1dx}+\int{\frac{1}{1+x^2}dx}$ $=\frac{1}{3}x^3-x+\arctan{x}+c$

$\int{\cos^2{(\frac{x}{2})}dx}=\int{\frac{1+\cos x}{2}dx}$

$=\int{\frac{1}{2}dx}+\frac{1}{2}\cos xdx$ $=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x+c$

$\int{\tan^2xdx}=\int{(\sec^2x-1)dx}$

$\int{\sec^2xdx}-\int{1dx}$ $=\tan x-x+c$

$c^{'}{(x)}=50x-x^2,c(0)=100$

$c(x)=\int{c^{'}{(x)}dx}=\int{(50x-x^2)dx}=25x^2-\frac{1}{3}x^3+c$ $c(0)=100$ $c(x)=25x^2-\frac{1}{3}x^3+100$

积分法

$\int{\cos xdx}=\sin x+c$ $\int{\cos x^2dx^2}=\sin x^2+c$ $\int{\cos f(x)df(x)}=\sin f(x)+c$ $\int{2x\cos x^2dx}=\int{(\cos x^2)2xdx}$ $=\int{\cos x^2}dx^2=\sin x^2+c$

第一换元积分法（凑微分）

把 $d$ 外面的某项拿到 $d$ 里面。（变成原函数）
凑基本积分公式。

$\int{g(x)dx}=\int{f(g(x))g^{'}{(x)}dx}$ $=\int{f(g(x))dg(x)}=\int{f(k)dk}$ $=F(k)+c=F(g(x))+c$

练习：
$\int{3\cos{(3x)}dx}=\int{\cos{(3x)}d3x}=\sin3x+c$
$\int{\frac{1}{3x+2}dx}=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{3x+2}3dx}$

$=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{3x+2}d(3x+2)}$ $=\ln{|3x+2|}+c$

$d$ 里面的常数随意加。

$\int{x\sqrt{1-x^2}dx}=\frac{1}{2}\int{\sqrt{1-x^2}dx^2}$

$=-\frac{1}{2}\int{\sqrt{1-x^2}d(-x^2)}$ $=-\frac{1}{2}\int{\sqrt{1-x^2}d(1-x^2)}$ $=-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}$

$\int{xe^{x^2}dx}=\int{\frac{1}{2}e^{x^2}dx^2}$

$=\frac{1}{2}e^{x^2}+c$

$\int{\sin x\cos xdx}$

$= \begin{cases} \int{\sin xd\sin x=\frac{1}{2}\sin^2 x+c_1}\\ \int{\frac{1}{2}\sin{2x}dx=\frac{1}{4}\int{\sin{2x}d2x}=-\frac{1}{4}\cos{2x}+c_2} \end{cases}$

其中 $c_1\not=c_2$，有时候一道题的解法并不唯一。

$\int{\frac{dx}{x(\ln x+1)}}$

$=\int{\frac{1}{(1+\ln x)}d(\ln x+1)}$

注意：这里没有绝对值，因为在题目中已经默认 $x>0$ 了。

$=\ln|\ln x+1|+c$

$\int{e^x\sqrt{1-e^x}dx}=\int{\sqrt{1-e^x}de^x}$

$=-\int{\sqrt{1-e^x}d(1-e^x)}=-\frac{2}{3}(1-e^x)^{\frac{3}{2}}+c$

$\int{\frac{dx}{a^2+x^2}}=\int{\frac{1}{a^2}{\frac{dx}{1+\frac{x^2}{a^2}}}}$

$=\int{\frac{1}{a}\times \frac{d\frac{x}{a}}{1+(\frac{x}{a})^2}}=\frac{1}{a}\times \arctan{\frac{x}{a}}+c$

$\int{\frac{dx}{x^2-a^2}}=\int{\frac{dx}{(x+a)(x-a)}}$

$=\int{\frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx}$ $=\frac{1}{2a}\int{\frac{1}{x-a}d(x-a)}-\frac{1}{2a}\int{\frac{1}{x+a}d(x+a)}$ $=\frac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln{|x+a|})+c$ $=\frac{1}{2a}\ln{|\frac{x-a}{x+a}|}+c$

三角函数类重点公式：
$\int{\tan xdx}=\int{\frac{\sin x}{\cos x}dx}=-\int{\frac{d\cos x}{\cos x}}=-\ln{|\cos x|}+c$
$\int{\csc xdx}=\int{\frac{1}{\sin x }dx}$

$=\int{\frac{1}{2\sin{\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}}}}dx}=\int{\frac{1}{2\frac{\sin{\frac{\pi}{2}}}{\cos{\frac{\pi}{2}}}\cos^2{\frac{\pi}{2}}}dx}$ $=\int{\frac{\sec^2{\frac{x}{2}}}{\tan \frac{x}{2}}d\frac{x}{2}}=\int{\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}d\tan{\frac{x}{2}}}$ $=\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|+c}$

$\int{\sin^3{x}dx}=\int{\sin^2{x}\sin xdx}$

$=-\int{\sin^2{x}d\cos x}=-\int{(1-\cos^2x)d\cos x}$ $=-\cos x+\frac{1}{3}\cos^3x+c$

$\int{\cos^2xdx}=\int{\frac{1+\cos2x}{2}dx}$

$=\int{\frac{1}{2}dx}+\frac{1}{4}\int{\cos2xd2x}$ $=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin2x+c$

$\int{\sin x\cos 3xdx}=\frac{1}{2}\int{(\sin 4x-\sin 2x)dx}$

$=\frac{1}{2}\int{\sin 4xdx}-\frac{1}{2}\int{\sin 2xdx}$ $=\frac{1}{8}\int{\sin 4xd4x}-\frac{1}{4}\int{\sin 2xd2x}$ $=-\frac{1}{8}\cos {4x}+\frac{1}{4}\cos{2x}+c$

第二换元积分

$\int{f{(x)}dx}=^{x=g{(t)}}=\int{f{(g{(t)})}g^{'}{(t)}dt}$

练习：
换元：

$\int{}\frac{dx}{x\sqrt{2x-3}}$

设：

$t=\sqrt{2x-3},t^2=2x-3$ $x=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2},dx=tdt$ $=\int{\frac{tdt}{(\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2})t}}=2\frac{dt}{3+t^2}$ $=\frac{2\sqrt{3}}{3}\int{\frac{d{\frac{t}{\sqrt{3}}}}{1+(\frac{t}{\sqrt{3}})^2}}$ $\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan{\frac{t}{\sqrt{3}}}+c$ $=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan{\frac{\sqrt{6x-9}}{3}}+c$

根换元：

$\int{\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}}$

设：

$t=\sqrt[6]{x},x=t^6$ $\sqrt{x}=t^3,\sqrt[3]{x}=t^2$ $dx=6t^5dt$ $=\int{\frac{6t^5dt}{t^3+t^2}}=\int{6\frac{t^3}{t+1}dt}$ $=6\int{\frac{t^3+1-1}{t+1}dt}$ $=6\int{(t^2-t+1-\frac{1}{t+1})dt}$ $=2t^3-3t^2+6t-6\ln|t+1|+c$ $=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln{|\sqrt[6]{x}+1|}+c$

三角函数换元：

$\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}(a > 0)$ $a^2-x^2\ge 0,x^2\le-a^2,-a\le x\le a$ $x=a\sin t(-\frac{\pi}{2}\le \sin t\le \frac{\pi}{2})$ $dx=a\cos tdt$ $\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=a\sqrt{\cos^2t}=a\cos t$ $=\int{a\times \cos t\times a\times \cos tdt}$ $=a^2\int{\cos^2 tdt}$ $=a^2(\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin{2t})+c$ $=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\sin t\cos t+c$ $=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{a^2}{2}\frac{x}{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}+c$ $=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+c$

同样：

$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}(a > 0)$ $x=a\tan x$ $\sqrt{a^2+a^2\frac{\sin^2t}{\cos^2 t}}=a\frac{1}{\cos t}$

和：

$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx},x^2-a^2>0,x^2>a^2$

$x > a$ 或 $x < a$

$x=a\sec t,0 < t <\frac{\pi}{2}$

后面计算结果即可。

高次幂：

$\int{\frac{x^3}{(x-1)^{100}}dx}$ $x-1=t,x=t+1,dx=dt$ $=\int{\frac{(t+1)^3}{t^{100}}dt}=\int{\frac{t^3+3t^2+3t+1}{t^{100}}dt}$ $=\int{t^{-97}+3t^{-98}+3t^{-99}+t^{-100}dt}$ $-\frac{1}{96}t^{-96}-\frac{3}{97}t^{-97}-\frac{3}{98}t^{-98}-\frac{1}{99}t^{-99}+c$

最后将 $t$ 换回 $x$ 即可。

公式背过后会快很多：

$\int{\frac{dx}{\sqrt{4x^2+9}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d(2x)}{\sqrt{(2x)^2+9}}}=\frac{1}{2}\ln{|2x+\sqrt{4x^2+9}|}+c$