完全数

完全数

一个数的所有真因子（除去本身的所有因子）的和是本身的数是完全数（也叫完美数）。

例如第一个完全数：$6=1+2+3$

第二个完全数：$28=1+2+4+7+14$

后面的还有：$496,8128,33550336,……$（可见它的增长相当迅猛，直到 $2018$ 年才找到 $51$ 个完全数，且全部是偶数。）

它们有一些有趣的性质：

• 所有的完全数都是三角形数。

三角形数就是所有的数排列成一个三角形，每个包含顶角的三角的右下角的数。

              1
            2   3
          4   5   6
        7   8   9  10
      11  12  13  14  15
    16  17  18  19  20  21
  22  23  24  25  26  27  28
29  30  31  ……

其中 $1,3,6,10,…$ 就是三角形数，或者表示成：$1+2+3+…$

有趣的是，所有的完全数都是三角形数。

$$6=1+2+3$$ $$28=1+2+3+4+5+6+7$$ $$496=1+2+3+4+5+…+30+31$$ $$8128=1+2+3+4+5+ …+126+127$$

• 所有的完全数都是调和级数。

它的所有因子的倒数和是整数。

$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=2$$ $$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=2$$ $$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{248}+\frac{1}{496}=2$$

• 可以表示成连续奇立方数的和（显然 $6$ 是个例外）。

$$28=1^3+3^3$$ $$496=1^3+3^3+5^3+7^3$$ $$8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3$$ $$33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3$$

• 可以表达为 $2$ 的连续正整数次幂的和。

$$6=2^1+2^2$$ $$28=2^2+2^3+2^4$$ $$496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8$$ $$8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}+2^{11}+2^{12}$$ $$33550336=2^{12}+2^{13}+……+2^{24}$$

• 辗转相加个位值为 $1$（除 $6$ 外）。

$28\Rightarrow2+8=10\Rightarrow1+0=1$

$$496\Rightarrow4+9+6=19\Rightarrow1+9=10\Rightarrow1$$ $$8128\Rightarrow8+1+2+8=19\Rightarrow1+9=10\Rightarrow1$$ $$33550336\Rightarrow3+3+5+5+0+3+6=28\Rightarrow10\Rightarrow1$$

• 它们（除 $6$ 外）除 $3$ 余 $1$，除 $9$ 余 $1$。

• 目前发现的完全数全部以 $6$ 或者 $28$ 结尾。